Параметры гармонического колебания
Любой колебательный процесс — это изменения некоторого параметра около среднего значения. Колебания бывают периодическими (маятник) и непериодическими (флаг на ветру). Если построить график колебательного процесса, то среднее значение на нём будет представлено горизонтальной прямой, а значение колеблющегося параметра — кривой, постоянно возвращающейся к среднему. При этом для непериодического колебания возвраты будут хаотичными, а для периодического — строго через одинаковый промежуток времени. Этот промежуток называется периодом колебания $T$.
Рис. 1. Периодические и непериодические колебания.
Простейшим периодическим колебанием является колебание, которое совершается по закону круговых функций (синуса или косинуса). Оно называется гармоническим. Поскольку в высшей математике доказывается, что любое колебание (в том числе непериодическое) можно представить в виду бесконечной суммы гармонических колебаний, то в первую очередь изучаются именно они. А по определению любое гармоническое колебание можно представить в виде функции:
$$A=A_0sin \Bigg ( {2\pi\over T} t +\varphi_0 \Bigg ),$$
где:
- $A_0$ — амплитуда колебания, максимальное отклонение мгновенного значения функции от нуля;
- $T$ — период колебаний;
- $t$ — свободная переменная — момент времени, для которого находится мгновенное значение амплитуды;
- $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний.
Коэффициент ${2\pi\over T}=\omega$ при свободной переменной $t$ называется угловой частотой. Его физический смысл состоит в том, что это угол, проходимый гармонической функцией за единицу времени. Значение выражения ${2\pi\over T} t +\varphi_0=\varphi$, которое является аргументом функции синуса, называется полной фазой колебания.
Рис. 2. Фаза колебания.
§ 23. Фаза колебаний
Введем еще одну величину, характеризующую гармонические колебания, — фазу колебаний
.
При заданной амплитуде колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса: φ = ω0t.
Величину φ, стоящую под знаком функции косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах — радианах.
Фаза определяет не только значение координаты, но и значение других физических величин, например скорости и ускорения, изменяющихся также по гармоническому закону. Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени
. В этом состоит значение понятия фазы.
Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами.
Так как , то
Отношение указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени t, выраженному в числе периодов Т, соответствует значение фазы φ, выраженное в радианах. Так, по прошествии времени (четверти периода) по прошествии половины периода φ = π, по прошествии целого периода φ = 2π и т. д.
Можно изобразить на графике зависимость координаты колеблющейся точки не от времени, а от фазы. На рисунке 3.7 показана та же косинусоида, что и на рисунке 3.6, но на горизонтальной оси отложены вместо времени различные значения фазы φ.
Представление гармонических колебаний с помощью косинуса и синуса. Вы уже знаете, что при гармонических колебаниях координата тела изменяется со временем по закону косинуса или синуса. После введения понятия фазы остановимся на этом подробнее.
Синус отличается от косинуса сдвигом аргумента на , что соответствует, как видно из уравнения (3.21), промежутку времени, равному четверти периода:
Поэтому вместо формулы х = хm cos ω0t можно для описания гармонических колебаний использовать формулу
Но при этом начальная фаза
, т. е. значение фазы в момент времени t = 0, равна не нулю, а .
Обычно колебания тела, прикрепленного к пружине, или колебания маятника мы возбуждаем, выводя тело маятника из положения равновесия и затем отпуская его. Смещение от положения равновесия максимально в начальной момент. Поэтому для описания колебаний удобнее пользоваться формулой (3.14) с применением косинуса, чем формулой (3.23) с применением синуса.
Но если бы мы возбудили колебания покоящегося тела кратковременным толчком, то координата тела в начальный момент была бы равна нулю, и изменения координаты со временем было бы удобнее описывать с помощью синуса, т. е. формулой
х = хm sin ω0t, (3.24)
так как при этом начальная фаза равна нулю.
Если в начальный момент времени (при t — 0) фаза колебаний равна φ, то уравнение колебаний можно записать в виде
х = хm sin (ω0t + φ).
Сдвиг фаз. Колебания, описываемые формулами (3.23) и (3.24), отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фазу этих колебаний составляет . На рисунке 3.8 показаны графики зависимости координат от времени для двух гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на . График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону: х = хm sin ω0t, а график 2 — колебаниям, совершающимся по закону косинуса:
Для определения разности фаз двух колебаний надо в обоих случаях колеблющуюся величину выразить через одну и ту же тригонометрическую функцию — косинус или синус.
Вопросы к параграфу
1. Какие колебания называют гармоническими?
2. Как связаны ускорение и координата при гармонических колебаниях?
3. Как связаны циклическая частота колебаний и период колебаний?
4. Почему частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, зависит от его массы, а частота колебаний математического маятника от массы не зависит?
5. Каковы амплитуды и периоды трех различных гармонических колебаний, графики которых представлены на рисунках 3.8, 3.9?
Фаза гармонического колебания
Из формулы гармонического колебания можно понять физический смысл фазы. Поскольку аргументом функции $sin(x)$ является угол поворота единичного вектора на координатной плоскости, выраженный в радианах, и его период равен $2\pi$, то фаза — это часть периода колебания, соответствующая моменту $t$. Она еще выражается в радианах и тоже имеет период $2\pi$.
Из формулы также можно видеть, что если $t=0$, то $\varphi=\varphi_0$ (полная фаза в начальный момент равна начальной фазе).
Метод векторных диаграмм
Гармонические колебания можно изобразить при помощи графического ( метод векторных диаграмм). Для этого из произвольно избранной точки О на оси X под углом, равным начальной фазе ($\varphi )$, откладывается вектор $\overline{A}$. Модуль которого равен амплитуде ($A$) колебаний. Если этот вектор приводить во вращение с угловой скоростью ${\omega }_0$, то проекция конца этого вектора перемещается по оси X и принимает значения от $-A$ до $A$. Законом колебаний, будет уравнение (1).
И так, гармонические колебания можно изобразить с помощью проекции на некоторую ось вектора амплитуды $\overline{A}$, который отложен из произвольной точки этой оси под углом $\varphi $, вращающимся с угловой скоростью ${\omega }_0$ вокруг избранной точки.
Разность фаз
Для одного колебательного процесса фаза не играет большой роли. В самом деле, если брать разные моменты времени за начальные, мы можем получать любое значение фазы, колебательный процесс при этом никак не изменится. Однако, когда речь идет о нескольких колебательных процессах, то значение фазы существенно возрастает. Именно фазой определяется разница мгновенных значений двух колебаний.
Рис. 3. Графики колебаний с различными фазами.
Если частоты колебаний неодинаковы, то каждый момент времени фазы будут различны, их разность также будет изменяться. Если же частоты колебаний одинаковы, то несмотря на изменение со временем фазы каждого колебания, разность фаз этих двух колебаний будет постоянной. Это может приводить к интересным ситуациям.
Например, если мы возьмем два колебания с одинаковыми амплитудами и частотами, но у первого начальная фаза будет равна нулю, а у второго — $\pi$, то эти два колебания никогда не будут иметь одинаковых ненулевых значений. Более того, если эти колебания сложить, то их сумма всегда будет равна нулю. Говорят, что такие процессы происходят в противофазе.
Фаза — гармоническое колебание — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Фаза — гармоническое колебание
Cтраница 1
Фаза гармонического колебания определяет значение-изменяющейся величины в данный момент времени. [2]
Фаза гармонического колебания определяет значение изменяющейся величины ( наряду с амплитудой) в данный момент времени. [4]
Фаза гармонического колебания определяет значение изменяющейся величины с единичной амплитудой в данный момент времени. [5]
Разность фаз гармонического колебания меняется циклически, а непосредственное ее измерение возможно лишь в пределах одного фазового цикла. Поэтому для определения по измеренной разности фаз полного времени распространения сигналов приходится измерять разности фаз колебаний на нескольких известных частотах модуляции, либо, плавно изменяя частоту модуляции, определять число полных фазовых циклов, соответствующее некоторому непрерывному диапазону их изменения и частоты, ограничивающей выбранный диапазон. [6]
Постоянную ф называют фазой гармонического колебания, точнее, начальной фазой. Эта величина выражается в долях радиана. При произвольном, но фиксированном выборе начала счета времени различные колебания одинаковой частоты могут иметь различные фазы. [7]
На какую величину изменяется фаза гармонических колебаний за один период и за одну секунду. [8]
Чем определяются частота, амплитуда и фаза гармонических колебаний. [9]
В различных радиотехнических устройствах возникает необходимость в измерении фазы гармонического колебания. [10]
В этих преобразователях используют устройства, позволяющие получить сдвиг фазы гармонического колебания, пропорциональный углу поворота входной оси этого устройства. Сдвиг фаз между эталонным гармоническим колебанием и колебанием на выходе устройства с помощью электронных схем выделения нуля может быть представлен в виде двух импульсов, а временной интервал между двумя импульсами преобразуют в цифровую форму с помощью уже описанных схем. Блок-схема такого преобразователя показана на фиг. [11]
Соотношение между вещественной и мнимой частями частотной характеристики определяет сдвиг фазы гармонического колебания на частоте со. [12]
Фазовой частотной характеристикой [ ( щ) называется зависимость изменения фазы выходного гармонического колебания по отношению к фазе входного колебания от частоты. [13]
Составные сигналы образуются путем манипуляции по амплитуде, частоте или фазе поднесущего гармонического колебания кодированной последовательностью видеоимпульсов. [14]
Частотными характеристиками называются функции частоты о, описывающие изменение амплитуды и фазы гармонических колебаний, проходящих через линейный элемент. [15]
Страницы: 1 2 3
www.ngpedia.ru
Понятие фазы колебательного процесса
Любой колебательный процесс может быть представлен в виде бесконечной суммы простейших гармонических колебаний. Гармоническое колебание — это колебание, которое совершается по закону круговых функций (синуса или косинуса).
Рис. 1. График гармонической функции.
Формула гармонического колебания имеет следующий вид:
$$X = X_m sin(\omega t+\varphi)$$
где:
- $t$ — текущий момент времени;
- $X$ — текущее значение параметра;
- $X_m$ — амплитудное (максимальное) значение параметра;
- $\omega$ — частота;
- $\varphi$ — начальная фаза.
Из представленной формулы можно увидеть, что при изменении значения времени $t$ аргумент круговой функции постоянно возрастает. Этот аргумент $(\omega t+\varphi)$ называется фазой. Единица измерения фазы — радиан, и поскольку круговая функция имеет период $2\pi$, то фаза, как правило, рассматривается только в диапазоне от нуля до $2\pi$.
Рис. 2. Фаза колебания.
Из формулы также видно, что фаза — это линейная функция от времени, которая монотонно возрастает от значения $\varphi$. Поэтому это значение называется начальной фазой.
Превращение энергии при гармонических колебаниях
Чтобы описать превращения энергии при гармонических колебаниях, условимся, что силой трения будем пренебрегать. Для описания обратимся к рисунку ниже.
Точке О на рисунке соответствует положение равновесия шарика. Если его оттянуть на расстояние xmax, равное амплитуде, пружина получит потенциальную энергию, которая примет в этом положении максимальное значение, равное:
Wp max=kx2max2..
Когда шарик отпускают, возникает сила упругости, под действием которой шарик устремляется влево. По мере уменьшения расстояния между точкой максимального отклонения и положением равновесия уменьшается и потенциальная энергия. Но в это время увеличивается кинетическая энергия шарика. Когда шарик проходит через положение равновесия в первый раз, его потенциальная энергия становится равной нулю, а кинетическая энергия обретает максимальное значение (скорость в этот момент времени тоже максимальна):
Wk max=mv2max2..
После прохождения точки О расстояние между шариком и положением равновесия снова увеличивается, и потенциальная энергия растет. Кинетическая же энергия при этом уменьшается. А в крайнем положении слева она становится равной нулю, в то время как потенциальная энергия снова примет максимальное значение.
Так как мы условились пренебрегать трением, данную колебательную систему можно считать изолированной. Тогда в ней должен соблюдаться закон сохранения энергии. Согласно ему, полная механическая энергия системы равна:
W=Wp+Wk=kx2x2..+mv2x2..=kx2max2..=mv2max2..
В действительности свободные колебания всегда затухают, так как в колебательной системе действует сила трения. И часть механической энергии рассеивается в виде тепла. Пример графика затухающих колебаний выглядит следующим образом:
Пример №2. Груз, прикрепленный к пружине, колеблется на горизонтальном гладком стержне. Найдите отношение кинетической энергии груза к его потенциальной энергии системы в момент, когда груз находится в точке, расположенной посередине между крайним положением и положением равновесия.
Так как груз находится посередине между крайним положением и положением равновесия, его координата равна половине амплитуды:
x=xmax2..
В это время потенциальная энергия груза будет равна:
Wp=kx22..=k(xmax2..)22..=kx2max8..
Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия в это время равна:
Wk=W−Wp
Полная механическая энергия системы равна максимальной потенциальной энергии:
W=Wp max=kx2max2..
Тогда кинетическая энергия равна:
Wk=kx2max2..−kx2max8..
Следовательно, отношение кинетической энергии к потенциальной будет выглядеть так:
WkWp..=kx2max2..−kx2max8..kx2max8….=kx2max2..8kx2max..−1=4−1=3
Период и частота гармонических колебаний
Минимальный промежуток времени T, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебания. Зная его, можно вычислить частоту колебаний, равную числу колебаний в единицу времени. Эти величины связаны между собой выражением:
ν=1T..
Через промежуток времени, равный периоду T и соответствующий изменению аргумента косинуса на ω0T, движение тела повторяется, и косинус принимает прежнее значение. Но из математики известно, что наименьший период косинуса равен 2π. Следовательно:
ω0T=2π
Отсюда:
ω0=2πT..=2πν
Таким образом, величина ω0 представляет собой число колебаний тела, но не за 1 секунду, а за 2π секунд. Эта величина называется циклической (круговой) частотой. А частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.
