У этого термина существуют и другие значения, см. Ноль.
- «Существуют две формы: ноль
и
нуль
. В терминологическом значении (особенно в косвенных падежах) обычно используется вторая, например:
равняется нулю, температура держится на нуле
»[1]. - «…производное прилагательное обычно образуется от формы нуль
, например:
нулевой меридиан, нулевая отметка
»[1].
0
(
ноль
,
нуль
от лат.
NULLus
— никакой[2]) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее[3], то есть дает результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль дает ноль[4].
Большой толковый словарь Кузнецова (2009)[5] приводит обе формы: ноль, нуль
— как равнозначные. Однако из приведённых там примеров видно, что некоторое различие есть: форма
ноль
используется преимущественно в именительном падеже, имеются также иные указания на это правило (см. врезку).
Нуль играет исключительно важную роль в математике и физике[6].
Содержание
- 1 Ноль в математике 1.1 Основные свойства нуля 1.1.1 Деление на ноль
- 1.1.2 Принадлежность к натуральным числам
- 1.1.3 Значения отдельных функций
Ноль в математике
Основные свойства нуля
- 0 — целое число.
- Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число:
0/2 = 0.
- На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.
- Ноль не имеет знака.
- Любое число при сложении с нулём не меняется[2]:
a + 0 = 0 + a = a.
- При вычитании нуля из любого числа получается то же число:
a — 0 = a.
- Умножение любого числа на ноль даёт ноль[2]:
a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0.
- При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:
0/a = 0 при a \neq 0.
Деление на ноль
- Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.
В самом деле, если обозначить \frac{a}{0} = b, то по определению деления формально должно быть b \cdot 0 = a, в то время как выражение b \cdot 0, при любом b, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.
- Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.
Принадлежность к натуральным числам
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам[7], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль[8].
Значения отдельных функций
- Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: a^0 = 1. Выражение 0^0 (ноль в нулевой степени) принято считать лишённым смысла[9][10][11], то есть неопределённым.
Связано это с тем, что функция двух переменных x^y в точке \{0,0\} имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси X, где y=0, она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y, где x=0, она равна нулю.
- Факториал нуля, по соглашению, принят равным единице: 0! = 1.
Обобщения (ноль в общей алгебре)
Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом
, иногда —
аддитивным нулём
, чаще всего —
нулём относительно сложения
. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать
мультипликативную единицу
, или
единицу относительно умножения
— при наличии таковой.)
Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера n\times n является нулевым элементом кольца квадратных матриц M_n(R). Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен
, p(x)\equiv 0.
Ноль в математическом анализе
- При вычислении предела отношения (a/b), где a \rightarrow 0 и b \rightarrow 0, возникает ситуация, когда непосредственная подстановка даёт выражение (0/0), значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: \left ( \frac{0}{0} \right ), (0^0), (\infty^0), (0\cdot\infty).
- Также возможна вполне определенная ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:
- Правый предел: \lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty _ или _ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow{} +\infty.
- Левый предел: \lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty _ или _ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow{} -\infty.
Ноль в геометрии
- Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
- Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
- Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства вновь именуется началом координат, если все её координаты нулевые.
- Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
- На окружности расположения 0° и 360° совпадают.
Ноль — начало времен
Считать годы и времена нужно, иначе люди не понимали бы, что произошло сначала, а что потом…
Начало всех времен… Где оно? Если это начало – момент возникновения Вселенной, то ученые до сих пор спорят, когда это произошло… Если время возникновения жизни на Земле, то тоже сложно определиться…
Тогда люди договорились об условном начале времен, привязав его к какому-то конкретному событию. Как вы уже догадались, событие это – Рождество Христово. Именно с Рождества Христова мы считаем наше время, ведем отсчет нашему времени. Мы считаем Рождество Христово нулевой точкой на прямой времени. Все, что было до Рождества Христова – было до нашей эры; а все, что было позже — было в нашей эре.
У каждого человека свои отношения с нулем. Но никто не хочет иметь нулевые доходы, нулевые успехи, нулевые отношения и нулевые знания. Свои знания по математике вы можете улучшить, изучая статьи в разделе Занимательная математика.
Впрочем, ноль – не всегда такое уж ничто, если вспомнить, что именно «зеро» – три из сорока ячеек казино с обозначением нуля, приносит игорному бизнесу баснословные доходы!
А что вы знаете о нуле? Поделитесь с нами.
Автор: Светлана Каминская (пользователь Камлана)
Советуем также прочитать:
- Сторителлинг
- Можно ли считать в уме и запоминать, как Дэниел Таммет
- Метод самообучения Фейнмана
- Юнит-экономика: примеры, расчеты, формулы
- Техники продуктивности
- Продолжите числовой ряд
- Задача на поиск числа
- Десять предпринимательских заблуждений по Гаю Кавасаки
- Как научить ребёнка быстро считать в уме
- Мнемотехника: цифры
- Ноль. Это важное Ничто. (Продолжение)
Ключевые слова:1Когнитивистика
История использования нуля
Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля, начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Хотя в их системе счисления 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали для обозначения нуля иероглиф нфр («прекрасный»).
Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).
В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего
); не исключено, что это обозначение повлияло на появление нуля, однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г. н.э., он имеет вид привычного нам кружочка.
В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.
Недостатки непозиционных систем счёта – их громоздкость и непрактичность. Например, представим запись двух чисел 3000 и 2998. Эти числа отличаются только на две единицы и в привычной нам арабской записи эти числа займут одинаковое место в тетради, но давайте посмотрим, как они будут выглядеть в непозиционной древней египетской записи:
Как же люди решили эту проблему? Чтобы ответить на этот вопрос, перенесёмся в древний Вавилон. Тут произошло одно очень значимое для математики событие – была открыта позиционная система счёта. Вавилонские математики рассудили, что для обозначения всех чисел им достаточно будет только два символа: первый – стоячий клин для обозначения единиц, и второй – лежачий клин для обозначения десятков (они использовали шестидесятеричную систему счисления, ниже мы объясним как это работает). Давайте разберёмся, как они пришли к этой простой идее. Для начала вспомним, что люди при счёте стремились группировать объекты: десятки десятков – это сотня, десятки сотен – это тысяча и так далее. Вавилонским математикам было удобно группировать по 12 объектов, но в 5 групп (помните про количество пальцев?), так появилась шестидесятеричная система счисления (12 х 5 = 60) Почему они выбрали за основу счёта 60, вместо, казалось бы, удобных нам 10? Кстати, мы тоже используем эту систему при измерении времени (60 минут – это 1 час и так далее). Из-за удобства, ведь 60 можно разложить на большее количество множителей ( 2*2*3*5 = 60), чем 10 ( 2*5 = 10).
Так как же выглядели вавилонские числа?
Как, например, вавилонцы записывали числа 62? Давайте попробуем разобраться. Число 62 имеет вид . Заглянем в таблицу, по ней видно, что эта запись имеет для нас такой смысл – «1 2». Как же так? Ведь мы имели ввиду число 62. Не торопитесь, всё верно, только нам следует обратить внимание на пробел между этими цифрами и вспомнить, что в зависимости от позиции цифры могут нести дополнительный смысл. Так вот, крайняя левая «единица» показывает число полных групп, в нашем случае это означает, что в числе есть 60 единиц, далее следует 2. В итоге означает 1х 60 + 2 = 62. Всё просто. Но как случайно не спутать число ( число 2) с (число 61)? Визуально они не сильно отличаются друг от друга (не каждый разглядит пробел). Сначала вавилонцы мирились с этой проблемой и должны были догадываться из контекста задачи, о каком числе идёт речь. Но в итоге нужно было заменить эту пустоту неким символом, так появился ноль.
Ноль в других областях науки и техники
Ноль часто используется как начало отсчёта. Примеры весьма многочисленны.
- Ноль возникает во многих разделах физики: При измерении громкости звука в фонах за 0 принимается порог слышимости.
- Минимально возможный уровень энергии квантовомеханической системы называется нулевой энергией.
- Известен абсолютный нуль температуры — 0 на шкале Кельвина. В быту, однако, чаще используются другие шкалы температуры. В частности, на шкале Цельсия за 0 произвольно принята точка замерзания воды.
Ноль в истории майя
Индейцы майя активно использовали в своих трудах двадцатеричную систему. Их понимание мира, религиозные верования и научные знания были очень глубоки, но во многом чужды и непонятны современным людям. Однако до сих пор ученых удивляет, насколько точными были вычисления, сделанные майя несколько тысячелетий назад.
Примечательно, что ноль они ставили в начало числового ряда и даже подарили ему название одного из дней. При этом число в их понимании не обозначало пустоту, скорее, его произношение было сходно со словом «начало». Подсознательно майя понимали, насколько глубоко понимание этого числа. Но все же они не использовали его в вычислениях. Удивительно, но ноль, играющий важное значение в календарях и других рукописных текстах, вовсе не воспринимался как самостоятельное число.
Ноль в языке и культуре
- «Мы почитаем всех нулями, а единицами — себя
» — цитата из поэмы Пушкина «Евгений Онегин»[12] (глава 2, строфа 14), употребляется иронически, когда говорят о чьем-либо завышенном самомнении и пренебрежительном отношении к окружающим[13]. - На нуле
— отсутствие чего-либо. Например, «
финансы на нуле
» (разговорное употребление)[14]. - Ноль
в переносном значении означает ничтожного, незначительного человека, например: «
Он абсолютный ноль
»[14]. - Выражение ноль без палочки
, когда идёт речь о человеке, означает, что он не имеет никакого влияния, значения (разговорное и шутливое употребление)[14], а также некомпетентного, глупого человека[15]. - Ноль внимания
— отсутствие внимания[14]. - Выражение ноль-ноль
, употребляемое после указания часа суток, означает: ровно в таком-то часу, без минут[14]. В спорте это же выражение может обозначать ничейный исход игры, состязания[16]. - С нуля начинать
— начинать на пустом месте (разговорное употребление)[14] или приступать к чему-либо без предварительной подготовки[16]. - Стричь под ноль
— то же, что стричь наголо[16].
Особенность 0 в нумерологии
Цифра 0 в нумерологии таит в себе сакральный смысл о духовном начале его материальной природы. Ноль представляет собой античисло и занимает первое место в числовом ряду. Он скрывает большой потенциал всей системы творений.
Английский оккультист и таролог А. Кроули описывал 0 математической нумерологической формулой: 0=2, где 0 (Нуит или не я) означает вселенское расширение и 2 (Хадит) — вселенское сжатие.
В нумерологии цифра 0 — начало всего, духовная первопричина бытия.
Сакральное значение нуля объясняют его формой. Ее приравнивают к божественному миру. Округлая форма означает бесконечность. Она не имеет ни начала, ни конца.
Позитивные черты числа 0
Положительное значение нуля:
- начало всего;
- всепоглощающая энергия;
- гармоничные отношения;
- законы вселенной.
В нумерологической характеристике цифра означает скрытые возможности и силы, которые заложены в личности с рождения. Чтобы их раскрыть, нужно понимать знаки судьбы и делать все для достижения цели.
Значение числа ноль в дате рождения — это резервные силы с прошлых жизней и перевоплощений. Человек ничего не знает об их существовании. Чтобы эти качества изменили жизнь, человеку нужно сделать выбор между добром и злом.
Повторяющееся число 0 в дате рождения означает слабое развитие духовной жизни личности. В нумерологии рассматривают это число как путешествие в собственный духовный мир. Если пренебречь этой возможностью, заложенная в человеке резервная сила обернется злом и принесет вред не только ему, но и его окружению.
Негативные черты числа 0
Отрицательные качества нуля:
- пустота;
- гибель;
- секреты;
- отсутствие сознания;
- хаос.
Человеческие желания регулируют тайные силы нуля. Они созидают или разрушают энергию в зависимости от направления.
В нумерологии смерть имеет метафизический смысл. Так же как и в картах Таро, смерть означает завершенный жизненный цикл. Он требует обновления сознания, души, тела и новых трансформаций.
Примечания
- ↑ 12Д. Э. Розенталь
. [www.evartist.narod.ru/text1/31.htm Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. Глава X. Правописание имен числительных.] М.: ЧеРо, 1999. - ↑ 123
Энциклопедический словарь юного математика, 1985. - [enc-dic.com/ozhegov/Nol-18823/ Ноль — Толковый словарь Ожегова — Энциклопедии & Словари]
- [dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/215950 НУЛЬ] // Большой Энциклопедический словарь. 2000.
- Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.
Самая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ. «Это вроде перечеканки Нирваны в динамомашину», — говорит Халстед.
— Ван дер Варден Б. Л.Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 77.
- [books.google.com/books?id=7xArILpcndYC The historical roots of elementary mathematics]. — Courier Dover Publications, 1976. — P. 254–255. — ISBN 0-486-13968-9., [books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA255 Extract of pages 254–255]
- Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И.
Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — С. 9. — 560 с. - [math-prosto.ru/?page=pages/stepeni/stepeni1.php Что такое степень числа] // Школьная математика, интернет-ресурс.
- [scienceland.info/algebra7/degree-zero Почему число в степени 0 равно 1?] // Науколандия, интернет-ресурс.
- [enc-dic.com/enc_sovet/Stepennaja-funkcija-85229.html Степенная функция] // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
- [dic.academic.ru/dic.nsf/aphorism/3137/Крылатые Крылатые фразы] // Сводная энциклопедия афоризмов. Академик. 2011.
- [dic.academic.ru/dic.nsf/dic_wingwords/1581/Мы Мы почитаем всех нулями, / А единицами — себя] // Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений. — М.: «Локид-Пресс». Вадим Серов. 2003.
- ↑ 123456
[dic.academic.ru/dic.nsf/dic_fwords/46578/ноль ноль] // Толковый словарь иностранных слов Л. П. Крысина.- М: Русский язык, 1998. - [russian_argo.academic.ru/7728/нуль нуль] // Словарь русского арго. — ГРАМОТА.РУ. В. С. Елистратов. 2002.
- ↑ 123
[feb-web.ru/feb/mas/mas-abc/14/ma250721.htm НОЛЬ и НУЛЬ] // Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999.
Литература
- Чарльз Сейфе.
Ноль. Биография опасной идеи = Zero: The Biography of a Dangerous Idea. — Neoclassic, АСТ, 2014. — 288 с. — ISBN 978-5-17-083294-1. - Нуль // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 219. — 352 с.
- Ламберто Гарсия дель Сид.
Первые натуральные числа и их значение → 0 — двусмысленное число // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 14-15. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8. - David Wells.
0 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Penguin Books, 1986. — С. 23-26. — 229 с. — ISBN 0-14-008029-5.
Ссылки
В Викисловаре есть статья «»
В Викисловаре есть статья «ноль»
В Викисловаре есть статья «нуль»
- ) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |заголовок2= Вещественные числа
|список2=Вещественные (\scriptstyle\mathbb{R}) • Комплексные (\scriptstyle\mathbb{C}) • Кватернионы (\scriptstyle\mathbb{H}) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (\scriptstyle\mathbb{O}) • Седенионы (\scriptstyle\mathbb{S}) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные[en]|заголовок3= Инструменты расширения
|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица
|заголовок4= Иерархия чисел |список4=
1,\;2,\;\ldots Натуральные числа |заголовок5= Другие
|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа|заголовок6= См. также
|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион
}}
-1,\;0,\;1,\;\ldots Целые числа -1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots Рациональные числа -1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots Вещественные числа -1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots Комплексные числа 1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots Кватернионы 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 — 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots Октонионы 1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 — \frac{1}{3}e_{15},\;\dots Седенионы : неверное или отсутствующее изображение Для улучшения этой статьи желательно: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)
