В каждой электрической цепи имеются так называемые Р – ребра (они же ветви, звенья, участки) и У – узлы. Для ее описания существует система уравнений, в которых используются два правила Кирхгофа. В них, в качестве независимых переменных, выступают токи ребер. Поэтому количество независимых переменных будет равно количеству уравнений, что дает возможность нормального разрешения данной системы. На практике используются методы, направленные на сокращение числа уравнений. Среди них очень часто используется метод контурных токов, позволяющий выполнять расчеты и получать точные результаты.
Суть метода контурных токов
Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.
Использование данного способа расчетов допускает, что в каждом независимом контуре Р-У+1 осуществляется циркуляция определенного виртуального контурного тока. Если какое-либо ребро относится лишь к одному конкретному контуру, то значение протекающего в нем реального тока будет равно контурному. В том случае, когда ребро входит в состав сразу нескольких контуров, ток, протекающий в нем, будет представлять собой сумму, включающую в себя соответствующие контурные токи. В этом случае обязательно учитывается направление обхода контуров. Независимыми контурами перекрывается практически вся схема, поэтому ток, протекающий в каком угодно ребре может быть выражен путем контурных токов, составляющих полную систему всех токов.
Закон Кирхгофа – расчет и применение
Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.
Расчёт электрических цепей онлайн по методу контурных токов
В программе онлайн-расчёта электрических цепей появился расчёт по методу контурных токов.
Выбор метода расчёта осуществляется в спадающем списке. Для расчёта по методу контурных токов необходимо выбрать метод расчёта «МКТ». Используемая методика при расчёте по методу узловых потенциалов приведена здесь.
Пример схемы и расчёт:
Исходные данные и схема:
- E1: Номер элемента: 1
- Амплитудное значение: 100 В
- Начальная фаза, °: 0
- Номер элемента: 1
- Номер элемента: 1
- Номер элемента: 1
После нажатия кнопки «Расчёт» на исходной схеме появляется нумерация узлов и формируется решение:
Рассчитаем схему по методу контурных токов.
В данной схеме: узлов − 2, ветвей − 3, независимых контуров − 2.
Количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно $ N_\textrm{в}- N_\textrm{у} + 1 $, где $ N_\textrm{в} $ − число ветвей без источников тока, $ N_\textrm{у} $ − число узлов.
Для данной схемы количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно 3 − 2 + 1 = 2.
Произвольно зададим направления обхода контуров и соответствующие контурные токи.
Принятые направления обхода контуров: Контур №1 обходится через элементы $ \underline{E}_{1} $, $ R_{1} $, $ L_{1} $ в указанном порядке. Через эти элементы протекает контурный ток $ \underline{I}_{11} $. Контур №2 обходится через элементы $ L_{1} $, $ C_{1} $ в указанном порядке. Через эти элементы протекает контурный ток $ \underline{I}_{22} $.
Составим уравнения по методу контурных токов.
Составим уравнение для контура №1:
$$ \underline{I}_{11} \cdot (R_{1}+jX_{L1})+\underline{I}_{22} \cdot jX_{L1}=\underline{E}_{1} $$
Составим уравнение для контура №2:
$$ \underline{I}_{22} \cdot (jX_{L1}- jX_{C1})+\underline{I}_{11} \cdot jX_{L1}=0 $$
Объединим полученные уравнения в одну систему, при этом перенесём известные величины в правую сторону, оставив в левой стороне только составляющие с искомыми контурными токами. Система уравнений по методу контурных токов для исходной цепи выглядит следующим образом:
$$ \begin{cases}\underline{I}_{11} \cdot (R_{1}+jX_{L1})+\underline{I}_{22} \cdot jX_{L1} = \underline{E}_{1} \\ \underline{I}_{22} \cdot (jX_{L1}- jX_{C1})+\underline{I}_{11} \cdot jX_{L1} = 0 \\ \end{cases} $$
Подставим в полученную систему уравнений значения сопротивлений и источников и получим:
$$ \begin{cases}(1+1j)\cdot \underline{I}_{11}+ j \cdot \underline{I}_{22}=100 \\ j \cdot \underline{I}_{11}=0 \\ \end{cases} $$
Решим систему уравнений и получим искомые контурные токи:
$$ \underline{I}_{11} = 0\space\textrm{А} $$
$$ \underline{I}_{22} = -100j\space\textrm{А} $$
Произвольно зададим направления токов в ветвях.
Принятые направления токов: Ток $ \underline{I}_{1} $ направлен от узла ‘2 у.’ к узлу ‘1 у.’ через элементы $ \underline{E}_{1} $, $ R_{1} $. Ток $ \underline{I}_{2} $ направлен от узла ‘1 у.’ к узлу ‘2 у.’ через элементы $ L_{1} $. Ток $ \underline{I}_{3} $ направлен от узла ‘1 у.’ к узлу ‘2 у.’ через элементы $ C_{1} $.
Рассчитаем токи в ветвях исходя из полученных контурных токов.
$$ \underline{I}_{1} =\underline{I}_{11}=0=0 $$ $$ \underline{I}_{2} =\underline{I}_{11}+\underline{I}_{22}=0+(-100j)=-100j $$ $$ \underline{I}_{3} =-\underline{I}_{22}=-(-100j)=100j $$
После завершения расчёта на экран также выводятся векторные диаграммы токов и напряжений.
Рекомендуемые записи
- Расчёт электрических цепей онлайн по методу узловых потенциалов
В программе онлайн-расчёта электрических цепей появился расчёт по методу узловых потенциалов. Выбор метода расчёта осуществляется в… - Метод контурных токов для расчёта электрических цепей При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов…
- Расчёт электрических цепей по методу узловых потенциалов: вывод метода Наряду с решением электрических схем по законам Кирхгофа и методом контурных токов используется метод узловых…
Законы Кирхгофа. Расчет цепей постоянного тока
В электротехнике существует два основных закона, на основании которых, теоретически можно решить все цепи.
Первый закон Кирхгофа выглядит следующим образом. Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, отходящих от узла.
Для данного рисунка имеем: I1 + I2 + I4 = I3 + I5.
Второй закон Кирхгофа. Сумма напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС вдоль этого же контура. Для схемы на рисунке (стрелкой обозначим направление вдоль контура, которое будем считать условно положительным).
Начиная с узла, где сходятся токи I1, I3, I4 запишем все напряжения (по закону Ома): -I1⋅R1 — I1⋅R2 – в первой ветви (знак минус означает, что ток имеет направление противоположное выбранному направлению контура). I3⋅R3 – во второй ветви (знак «плюс», направление совпадает).
Теперь запишем ЭДС: E2 — E3 (знак «минус» у E3, потому что направление ЭДС противоположно направлению контура).
В соответствии с законом Кирхгофа напряжения равны ЭДС: -I1⋅R1 — I1⋅R2 + I3⋅R3 = E2 — E3.
Как видите, все довольно просто.
В большинстве случаев перед студентами стоит задача рассчитать величины токов во всех ветвях, зная величины ЭДС и резисторов. Для расчета сложной, разветвленной цепи постоянного тока, например этой, найденной на просторах интернета, воспользуемся следующими действиями.
Для начала задаемся условно положительными направлениями токов в ветвях (это значит, что ток может течь и в противоположном направлении, тогда он будет иметь отрицательное значение).
Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура так, чтобы охватить каждый неизвестный ток (в данной схеме имеем 3 таких контура). Направления контуров выбираем для удобства по часовой стрелке (хоть это и необязательно):
По первому закону Кирхгофа составляем столько уравнений, чтоб охватить все неизвестные токи (в данной схеме для любых трех узлов):
Итого, имеем систему из 6 уравнений. Чтобы решить такую систему можно воспользоваться программой MathCad. Решается она следующим образом:
Это скриншот программы. Знак «равно» в уравнения должен быть жирным (вкладка «булевы», CTRL + “=/+”). MathCad может решать системы любого порядка (например, схема имеет 10 независимых контуров). Но, во-первых, функция “Given” не работает с комплексными числами (об этом позже), во-вторых, не всегда есть под рукой компьютер или условие задачи поставлено так, что требуется решить схему другим методом.
Данный метод решения задач называется методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Большинство студентов старших курсов (уже прослушавших курс ТОЭ), инженеров-электриков, даже преподавателей и докторов наук могут решать схемы только этим методом, т.к. другие методы применяются крайне редко.
Расчет электрической цепи постоянного тока ЕНУ
Задания для самостоятельной работы обучающихся
Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока
1. Для электрической схемы, изображенной на рис.0, по заданным сопротивлениям и ЭДС найти все токи способами:
а) используя законы Кирхгофа;
б) методом контурных токов;
в) методом узловых напряжений;
г) определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора.
Свести результаты расчетов в одну таблицу.
2. Определить показание вольтметра.
3. Составить баланс мощностей.
Скачать расчет электрической цепи постоянного тока
Задача Расчет электрической цепи постоянного тока
Переменный ток.
В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками.
Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения. Работа активного двухполюсника под нагрузкой в номинальном режиме определяется уравнением 1.
Определим параметры электрической цепи рис. Неуправляемые нелинейные элементы имеют одну вольт-амперную характеристику; управляемые — семейство характеристик.
Определить ток I1 в заданной по условию схеме с источником тока, используя метод эквивалентного генератора. Чтобы решить такую систему можно воспользоваться программой MathCad. В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений.
Читайте дополнительно: Нормы прокладки кабеля под землей
АГЗ МЧС РГР №1 Расчёт линейных цепей постоянного тока
Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Определим параметры электрической цепи рис. Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений.
Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Режим работы электрической цепи рис. Переменный синусоидальный ток или напряжение задается уравнением: Здесь Im — амплитуда тока. Например, с помощью закона Кирхгофа, который гласит, что сумма ЭДС в контуре равна сумме напряжений в нем. Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.
Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения.
Эта вольт-амперная характеристика строится по двум точкам 1 и 2 рис. Для этого необходимо найти напряжение в цепи, которое будет общим для обоих резисторов, так как соединение параллельное. Следовательно, схема источника тока рис. Вычислим коэффициент подобия.
Составить баланс мощностей в исходной схеме схеме с источником тока , вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок сопротивлений. Рекомендуется узлы схемы a, b, c, d заменить на 1, 2, 3, 4 соответственно. Исключением служат цепи, содержащие более сложные соединения звездой и треугольником. В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Законы Кирхгофа — Теория и задача
